1.1. Множества Жюлиа   
Будем рассматривать последовательности комплексных чисел {Zn}. Возьмем произвольное комплексное число c. Теперь для любого комплексного числа k рассмотрим последовательность {Zn(k)}:   

      Z0 = k,   
      Zi+1= Zi2 + c
Зададим себе вопрос: сходится ли Zn к нулю или стремится к бесконечности при n стремящемся к бесконечности? Пусть J – множество всех комплексных чисел {k}, таких что {Zn(k)}стремится к 0, при n стремящемся к бесконечности.  Если теперь мы возьмем все такие k и отобразим их на комплексной плоскости, то получим множество Жюлиа. Меняя c, мы получим бесконечный набор фантастических само подобных образов – множеств Жюлиа.   

1.2. Множество Мандельброта   

Рассмотрим набор множеств Жюлиа и зададимся вопросом: связно ли данное конкретное множество Жюлиа? Пусть M – множество всех множеств Жюлиа, которые связны. Это множество и называется множеством Мандельброта.   

Теперь возьмем любое множество Жюлиа J, и комплексное число c, которое его породило. Если J содержится в M, то изобразим точку черным на комплексной плоскости, в противном случае белым. Это и дает нам того “своеобразного снеговика“, которого вы уже наверное видели миллион раз. Его - то мы и будем генерировать.   

К счастью, есть более легкий путь изображения множества Мандельброта, чем рисование каждого множества Жюлия и выяснения, связно ли оно. Наш метод будет очень близок к построению множеств Жюлиа. Опять рассмотрим итерационную последовательность для любого k, и выясним, сходится ли она к нулю.   

Zi+1= Zi2 + c
Заметим, что c здесь уже не константа.Для любой точки комплексной плоскости мы c присваиваем значение kи выполняем итерации. Этот метод, как ни странно, дает нам то же изображение множества Мандельброта. Итак, алгоритм:   

For each point k on the complex plane do:   
      let x=0.   
      repeat infinite times:   
          x = x2 + k.   
      end repeat   
      if x goes to infinity,   
          k is not in the set. Color is white.   
      else   
          k is in the set. Color is black.   

Понятно, что бесконечных циклов быть не должно. Поэтому возьмем некоторое большое число I и проитерируем I раз. Чем большее I мы взяли, тем, разумеется, точнее ответ мы получим. Из практики, число 4000 дает довольно хороший результат. Да, но 4000 раз “крутить“ цикл для каждого пиксела изображения, это многовато. К счастью, мы можем воспользоваться результатами многолетней работы математиков в этой области. Оказывается, если в любой конкретный момент вычислений, для k расстояние от zi(k) до начала координат больше 2, то мы можем принять, что данная {Zn(k)} уйдет в бесконечность. (При сравнении: расстояние < 2, поэтому его квадрат меньше 4 и корень извлекать не нужно.) Итак, теперь наш алгоритм выглядит так:   

For each point k in the complex plane do:   
      let x=0.   
      repeat 4000 times   
          let x=x2+k   
          if x2 > 4 then   
              Color it white   
              Break   
      end repeat   
      if we reached 4000 then   
          Color is black.   

Этот метод дает нам черно-белое изображение множества Мандельброта. Теперь надо подумать о том, как сделать его разноцветным.   

1.3. Цветное изображение   

Если точка принадлежит множеству Мандельброта, то с ней все ясно – рисуем ее черным. Но как быть с точками, не принадлежащими множеству? Общепринятый способ выбора цвета для них – это выбирать цвет в соответствии с тем, как быстро {Zn(k)} стремится к бесконечности (на какой итерации мы ее исключаем из рассмотрения). Например, точка, для которой расстояние до начала координат больше 2 уже на третьей итерации, должна быть почти белой, а та точка, которая “продержалась“ до 3995 итерации – почти черной. Перепишем алгоритм для изображения в градациях серого:   

For each point k in the complex plane do:   
      let x:=0.   
      for i:=0 to 4000   
          let x=x2+k   
          if ( |x|2> 4) then   
              Color point k color i   
              Break;   
          end if   
      end for   
      if (i=4000)   
          Color of point k is black.   
      end if   

Конечно, просто рисовать точку цветом i мы не можем. Считая, что у нас есть только 256 градаций серого, а i меняется до 4000. Нам надо как-то отображать i на доступный нам диапазон цветов. Эту проблему мы оставляем вам. После того, как мы получили приличное изображение в градациях серого, очень легко чуть изменить алгоритм для получения цветного изображения. Например, в изображении в градациях серого, если точка вышла из области на n-ой итерации, вы можете рисовать ее цветом (n, n, n). Можете попробовать и что-нибудь поинтереснее типа (n, 255 – n, 50 mod n * 3). Оставляем простор для вашей фантазии. И последнее: обычно, все множество Мандельброта расположено от -2 до 0.5 по действительной оси и от –1.25 до 1.25 по мнимой оси. Ваша программа не должна тестировать точки далеко за пределами этой области. Теперь можно посмотреть пример. Надеемся, что вам удастся сделать что-нибудь поинтереснее.   

REM Project: Mandelbrot
REM Created: 13.08.2010 20:19:16
REM
REM ***** Main Source File *****
REM
cls
yy=0
for y#=-1 to 1 step 0.005
     yy=yy+1
     xx=0
       for x#=-2 to 1 step 0.005
           xx=xx+1
           cx#=x#
           cy#=y#
           BX#=x#
           BY#=y#
           ix#=0
           iy#=0
           n=0
           flo#=0
        while (flo# < 2) and (n < 64)
          flo#=sqrt( ix# * ix# + iy# * iy# )
          ix#=BX# * BX# - BY# * BY# + cx#
          iy#=2*BX#*BY#+cy#
          n=n+1
          BX#=ix#
          BY#=iy#
          col=n*n
        endwhile

        dot xx,yy,col
      next x
next y
suspend for key