|
Помогите доказать теорему о разложении многочлена
|
|
| DDTAA | Дата: Воскресенье, 30 Января 2011, 19:47 | Сообщение # 1 |
|
заслуженный участник
Сейчас нет на сайте
| Народ! Как доказать теорему без метода математической индукции: Если многочлен имеет попарно различные корни, то многочлен делится без остатка на произведение(x-a1)*(x-a2)*...*(x-an) ? БЕЗ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
Буду благодарен:-)
Да, я новичок, поэтому вопросы у меня иногда глупые......
Да, у меня действительно такой ник.......
...А я не знаю, почему по профилю мне 28 лет и я Адольф:-)...
|
|
|
| |
| Vinchensoo | Дата: Воскресенье, 30 Января 2011, 19:52 | Сообщение # 2 |
Злобный социопат с комплексом Бога
Сейчас нет на сайте
| Это следствие из теоремы Безу.
Она гласит, что остаток от деления a(x) на (x-A) равен a(A).
В частности, a(0)=0.
Т.к. a(a1)=0,значит, остаток равен нулю, значит, делиться.
А раз делится на все из них, значит, делится и на их произведение, т.к. (x-Aj)- взаимнопростые многочлены
Теорема Безу:
a(x)=q(x)*(x-A) + r(x), где q- неполное частное, r- остаток.
Значит, a(A)=r(A)- подстановка. А зачем тебе, вот вопрос? По мат. индукции легче доказать.
|
|
|
| |
| DDTAA | Дата: Воскресенье, 30 Января 2011, 22:05 | Сообщение # 3 |
|
заслуженный участник
Сейчас нет на сайте
| А вот задался вопросом, есть ли вещи, которые без метода индукции недоказуемы вообще:-). Я что-то не совсем понял, можно поподробнее, давно я касался темы многочленов и было это как раз перед Великой Амнезией:-). При чём было это наверное тогда, когда слово многочлен вызывало у меня только пошлые ассоциации:-).
Да, я новичок, поэтому вопросы у меня иногда глупые......
Да, у меня действительно такой ник.......
...А я не знаю, почему по профилю мне 28 лет и я Адольф:-)...
|
|
|
| |
| Vinchensoo | Дата: Понедельник, 31 Января 2011, 08:55 | Сообщение # 4 |
|
Злобный социопат с комплексом Бога
Сейчас нет на сайте
| Quote (DDTAA) А вот задался вопросом, есть ли вещи, которые без метода индукции недоказуемы вообще:-)
Я, если честно, вообще не понял, при чем тут мат. индукция. Мат. индукция- перебор по параметру по сути, который является натуральным числом и изменяется на единицу в любую сторону. А тут разные корни, хз, не знаю даже, как это мат. индукцией доказать.
По-моему, все просто через Безу и взаимнопростые многочлены
Quote (DDTAA) Я что-то не совсем понял, можно поподробнее, давно я касался темы многочленов
Что именно не понял? Вроде бы все описано на 100%. Спрашивай, объясню, так легче будет.
|
|
|
| |
| Pesets | Дата: Понедельник, 31 Января 2011, 10:22 | Сообщение # 5 |
постоянный участник
Сейчас нет на сайте
| Берем многочлен A[x] степени n. У него есть n корней (Теорема Гаусса-Даламбера). По условию они все попарно разные. Назовем их {a1,...,an}
Составим многочлен B[x] = (x-a1)(x-a2)...(x-an). Очевидно, что корни этого многочлена совпадают с корнями A[x].
Исходя из того, что многочлен задается своими корнями с точности до константы (Следствие из теоремы Виета), A[x] = q * B[x], а это и есть условие делимости. ЧТД)
|
|
|
| |
