if (obj.transform.childCount > 0) {
   // родитель
   Transform child = obj.transform.GetChild(0); // и его ребенок
}
else {
   // бездетный
}

void Move()
{
    transform.position += new Vector3(0, 0.6f, 0); //перемещается объект
    other.StartOpponents(); // метод должен сработать для клона другого объекта или для
                    //самого другого объекта (в зависимости от того, с кем объект столкнулся)
                    // если срабатывает для клона, вместе с ним срабатывает и для изначального другого объекта
}