Формула Герона

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника $S$ по длинам его сторон $a,b,c$:

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$,

где $p$ — полупериметр треугольника: $p={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c)$.

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Доказательство 1 (тригонометрическое):

$S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }$,

где $\ \gamma$ — угол треугольника, противолежащий стороне $c$. По теореме косинусов:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,$

Отсюда:

$\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},$

Значит,

$\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=$

$={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=$

$={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

Замечая, что $a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$, получаем:

$\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.$

Таким образом,

$S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

ч.т.д.

Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

Треугольник со сторонами a, b, c и высотой h, разделяющей основание c на d и (c − d).

По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a² = h² + (c − d)² и b² = h² + d² — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a² − b² = c² − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}$

Для высоты h у нас было равенство h² = b² − d², в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:

${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\\end{aligned}}$

Замечая, что $b+c-a=2p-2a$, $a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$, $a-b+c=2p-2b$, получаем:

${\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(p-a)\cdot 2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)}{4c^{2}}}={\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}$

Используя основное равенство для площади треугольника $S={\frac {ch}{2}}$ и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:

${\begin{aligned}S={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}$

ч.т.д.

Вариации и обобщения

• Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

  $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

  $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

  $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.$

  $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.$

• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:

  $-16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}$

Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера для вычисления гиперобъёма симплекса.

• Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан $m_{a}$, $m_{b}$ и $m_{c}$ и их полусумму $\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2$:

  $S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}$;

через длины высот $h_{a}$, $h_{b}$ и $h_{c}$ и полусумму их обратных величин $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$:

$S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}$;

через углы треугольника $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, полусумму их синусов $s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2$ и диаметр описанной окружности $D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}$:

$S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.$

• Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

  $S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$,

где $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель:

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}$

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников (изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$, то для его объёма $V$ верно выражение:

  ${\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}$.

• Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если $U$, $V$, $W$, $u$, $v$, $w$ являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро $u$ противоположно ребру $U$ и так далее), тогда справедливы формулы:

  ${\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}$

где:

${\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}$.

• По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны $\theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}$ как:

  $S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}$,

где $\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}$ — полупериметр.

Литература

• § 258 в А. П. Киселёв. "Геометрия по Киселёву". arXiv:1806.06942 [math.HO].
• Николаев Н. О площади треугольника (рус.) // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
• Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron's Formula (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44. — P. 27—28. — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора